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Questão 177

ENEM 2021, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, \dfrac{1}{2} de probabilidade de acertar um dardo no alvo.

A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a \dfrac{9}{10}. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

Ver gabarito e resolução

Em resumo: A chance de errar todos os n dardos é (1/2)ⁿ; para pontuar com 90% ou mais, ela deve ser ≤ 1/10: n = 4.

Gabarito oficial: alternativa B.

Resolução

A questão pede o número mínimo de dardos para a chance de pontuar ser pelo menos 9/10.

O jogador pontua se acertar pelo menos um dardo. É mais fácil calcular o contrário: errar todos. Com n dardos, a probabilidade de errar todos é \left(\dfrac{1}{2}\right)^n. Queremos 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \ge \dfrac{9}{10}, ou seja, \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le \dfrac{1}{10}.

  • n = 3: \dfrac{1}{8} = 0{,}125, maior que 0,1.
  • n = 4: \dfrac{1}{16} = 0{,}0625, menor que 0,1.

São necessários 4 dardos.

Alternativas

  • A) Errada. Com 2 dardos, a chance de pontuar é 75%.
  • B) Correta. Com 4 dardos, a chance é de cerca de 94%.
  • C) Errada. Funciona, mas não é o mínimo.
  • D) Errada. Funciona, mas não é o mínimo.
  • E) Errada. Funciona, mas não é o mínimo.

Logo, a resposta é a alternativa B.

Fonte: INEP/MEC.

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