Questão 179
Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação φ² = φ + 1.
Assim como a potência φ², as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
| φ² | φ³ | φ⁴ | φ⁵ | φ⁶ | φ⁷ |
|---|---|---|---|---|---|
| φ + 1 | 2φ + 1 | 3φ + 2 | 5φ + 3 | 8φ + 5 | … |
A potência φ⁷, escrita na forma aφ + b (a e b são inteiros positivos), é
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Em resumo: Os coeficientes seguem a sequência de Fibonacci: φ⁷ = φ·φ⁶ = 8φ² + 5φ = 13φ + 8.
Gabarito oficial: alternativa E.
Resolução
A questão pede φ⁷ na forma aφ + b.
Usando \varphi^2 = \varphi + 1:
\varphi^7 = \varphi \cdot \varphi^6 = \varphi(8\varphi + 5) = 8\varphi^2 + 5\varphi = 8(\varphi + 1) + 5\varphi = 13\varphi + 8.
Os coeficientes formam a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...), como mostra o quadro.
Alternativas
- A) Errada. É φ⁵.
- B) Errada. Não segue o padrão.
- C) Errada. Não segue o padrão.
- D) Errada. Não segue o padrão.
- E) Correta. φ⁷ = 13φ + 8.
Logo, a resposta é a alternativa E.
Fonte: INEP/MEC.
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