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Questão 145

ENEM 2022, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.

Plano cartesiano em km com a Cidade A em x = 20 e y = 40, a Cidade B em x = 50 e y = 20 e, sobre o eixo x (Rodovia 003), cinco pontos de conexão sugeridos, I a V, ligados às duas cidades pelas Rodovias 001 e 002

Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.

Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Refletindo B no eixo x, a reta de A até o reflexo cruza o eixo em x = 40: o ponto IV dá o menor caminho.

Gabarito oficial: alternativa D.

Resolução

A questão pede o ponto de conexão que torna mínima a soma das distâncias até A e B.

Truque da reflexão: refletimos B(50, 20) em relação ao eixo x (a Rodovia 003), obtendo B'(50, −20). A distância de qualquer ponto do eixo até B é igual à distância até B'. O caminho A → ponto → B' é mínimo quando é uma linha reta.

A reta de A(20, 40) a B'(50, −20) tem inclinação \dfrac{-20 - 40}{50 - 20} = -2: y = 40 - 2(x - 20). Ela cruza o eixo (y = 0) em x = 40, que é o ponto IV.

Alternativas

  • A) Errada. O ponto I fica sob a cidade A (x = 20).
  • B) Errada. O ponto II (x = 30) não está alinhado com A e B'.
  • C) Errada. O ponto III (x = 35) não está alinhado com A e B'.
  • D) Correta. O ponto IV (x = 40) dá o menor percurso.
  • E) Errada. O ponto V fica sob a cidade B (x = 50).

Logo, a resposta é a alternativa D.

Fonte: INEP/MEC.

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