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Questão 142

ENEM 2023, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C_1, C_2 e C_3, como apresentados na figura.

Triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c; sobre cada lado há um círculo com esse lado como diâmetro: C₁ sobre a, C₂ sobre b e C₃ sobre c

Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C_1) = área (C_2) + área (C_3).

Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

Três meias pizzas formam um triângulo com seus diâmetros: a meia pizza do professor de matemática, a do amigo 1 e a do amigo 2; α é o ângulo oposto ao diâmetro da pizza do professor

A partir da medida do ângulo α, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Pela lei dos cossenos, o lado oposto a um ângulo obtuso tem quadrado maior que a soma dos quadrados dos outros dois.

Gabarito oficial: alternativa C.

Resolução

A questão pede a condição sobre α para que a pizza do professor tenha área maior que a soma das outras duas.

A área de um círculo de diâmetro d é proporcional a d^2. Comparar as áreas é comparar os quadrados dos diâmetros. Seja a o diâmetro da pizza do professor, oposto ao ângulo α, e b e c os dos amigos. Pela lei dos cossenos:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha.

  • Se \alpha = 90^\circ, \cos\alpha = 0 e a^2 = b^2 + c^2 (Pitágoras): áreas iguais.
  • Se 90^\circ < \alpha < 180^\circ, \cos\alpha < 0, e a^2 > b^2 + c^2: a pizza do professor é maior.

Alternativas

  • A) Errada. Com α agudo, \cos\alpha > 0 e a área do professor é menor.
  • B) Errada. Com α reto, as áreas são iguais.
  • C) Correta. Com α obtuso, a área do professor é maior.
  • D) Errada. Com 180° não há triângulo.
  • E) Errada. Ângulos internos de triângulo são menores que 180°.

Logo, a resposta é a alternativa C.

Fonte: INEP/MEC.

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