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Questão 148

ENEM 2023, Matemática Dificuldade: Média Favoritar

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Triângulo com seis círculos vazios: um em cada vértice e um no meio de cada lado

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Os vértices em PA de razão 2 são 1, 3, 5 ou 2, 4, 6; as somas dos lados ficam 10 e 11, e as duas montagens funcionam.

Gabarito oficial: alternativa E.

Resolução

A questão pede as possíveis somas dos lados do triângulo mágico.

Os números de 1 a 6 em PA de razão 2 com três termos são 1, 3, 5 ou 2, 4, 6. Somando os três lados, cada vértice conta duas vezes e cada número do meio, uma. Se S é a soma de cada lado:

3S = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) + (\text{soma dos vértices}) = 21 + \text{vértices}.

  • Vértices 1, 3, 5: 3S = 21 + 9 = 30, S = 10. Montagem: 1 + 6 + 3, 3 + 2 + 5, 5 + 4 + 1, todas iguais a 10.
  • Vértices 2, 4, 6: 3S = 21 + 12 = 33, S = 11. Montagem: 2 + 5 + 4, 4 + 1 + 6, 6 + 3 + 2, todas iguais a 11.

Há duas soluções, com somas 10 e 11.

Alternativas

  • A) Errada. Soma 7 não é possível com essas condições.
  • B) Errada. Soma 9 seria com vértices 1, 2, 3, que não estão em PA de razão 2.
  • C) Errada. Nenhuma das duas somas é possível.
  • D) Errada. Soma 12 exigiria vértices 4, 5, 6.
  • E) Correta. As duas soluções têm somas 10 e 11.

Logo, a resposta é a alternativa E.

Fonte: INEP/MEC.

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