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Questão 145

ENEM 2024, Matemática Dificuldade: Média Favoritar

A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P₁, P₂ e P₃, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

Triângulo equilátero de lado 10 km com vértices P₁, P₂ e P₃; o hospital H fica no centro, ligado aos três vértices por segmentos iguais

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

Ver gabarito e resolução

Em resumo: O hospital fica no centro do triângulo equilátero de lado 10: distância 10/√3 ≈ 5,77 km, entre 5 e 6.

Gabarito oficial: alternativa C.

Resolução

A questão pede a distância do hospital a cada posto.

Os três postos formam um triângulo equilátero de lado 10 km, e o hospital está à mesma distância dos três: é o centro do triângulo (circuncentro). Num triângulo equilátero, o centro fica a 2/3 da altura a partir de cada vértice.

  1. Altura: h = \dfrac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} km.
  2. Distância do centro ao vértice: \dfrac{2}{3} \cdot 5\sqrt{3} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3} = \dfrac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}77 km.

O valor está entre 5 e 6 km.

Alternativas

  • A) Errada. Entre 2 e 3 km está a distância do centro ao lado (≈ 2,89 km), não ao vértice.
  • B) Errada. 4 a 5 km fica abaixo de 5,77.
  • C) Correta. A distância é de cerca de 5,77 km.
  • D) Errada. Entre 7 e 8 km fica acima.
  • E) Errada. Entre 8 e 9 km está a altura do triângulo (≈ 8,66 km).

Logo, a resposta é a alternativa C.

Fonte: INEP/MEC.

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