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Questão 177

ENEM 2024, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6 000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.

Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Com 40L + 30C = 6 000, a área máxima ocorre quando 40L = 30C = 3 000: L = 75 e C = 100. O maior lado mede 100 m.

Gabarito oficial: alternativa B.

Resolução

A questão pede a medida do maior lado do galinheiro de área máxima.

  1. Custo: os dois lados L custam 20 reais por metro e os dois lados C, 15 reais. Gasto: 2 · 20L + 2 · 15C = 40L + 30C = 6 000.
  2. Área: A = L \cdot C. Isolando C: C = \dfrac{6\,000 - 40L}{30} = 200 - \dfrac{4L}{3}. Então A = 200L - \dfrac{4L^2}{3}, uma parábola voltada para baixo.
  3. Máximo: o vértice fica em L = \dfrac{200}{2 \cdot \frac{4}{3}} = 75 m. Então C = 200 − 100 = 100 m.

Os lados são 75 m e 100 m; o maior mede 100 m. (No máximo, o gasto se divide igualmente: 40 · 75 = 30 · 100 = 3 000 reais.)

Alternativas

  • A) Errada. 85 m não corresponde ao ponto de área máxima.
  • B) Correta. O maior lado mede 100 m.
  • C) Errada. 175 m é a soma dos dois lados (75 + 100).
  • D) Errada. 200 m seria o lado C com L = 0, sem área.
  • E) Errada. 350 m não respeita o orçamento.

Logo, a resposta é a alternativa B.

Fonte: INEP/MEC.

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