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Questão 147

ENEM 2025, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de “confundir” os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado.

Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura.

Imagem da questão 147 do ENEM 2025

Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Os pontos equidistantes de T e V formam a mediatriz do segmento TV: y = −3x + 20.

Gabarito oficial: alternativa A.

Resolução

A questão pede a equação da trajetória em que o herói fica sempre à mesma distância dos dois vilões.

  1. Coordenadas de T: no quadrado STUV, o vetor de S a V é (8 - 6;\ 6 - 2) = (2;\ 4). O lado ST é perpendicular e do mesmo tamanho: (-4;\ 2). Então T = (6 - 4;\ 2 + 2) = (2;\ 4), como na figura.
  2. Mediatriz de TV: os pontos equidistantes de T e V formam a mediatriz do segmento TV. O ponto médio é \left(\frac{2+8}{2};\ \frac{4+6}{2}\right) = (5;\ 5). A inclinação de TV é \frac{6-4}{8-2} = \frac{1}{3}; a mediatriz é perpendicular, com inclinação −3.
  3. Equação: y - 5 = -3(x - 5) \Rightarrow y = -3x + 20.

Conferência: o ponto S(6; 2) está nessa reta (−18 + 20 = 2). Faz sentido: num quadrado, a diagonal SU é a mediatriz da outra diagonal, TV. O herói já começa na trajetória segura.

Alternativas

  • A) Correta. A mediatriz de TV é y = −3x + 20.
  • B) Errada. Tem a inclinação certa, mas não passa pelo ponto médio (5; 5).
  • C) Errada. Com termo independente −20, a reta nem passa pelo quadrado.
  • D) Errada. A inclinação 3 não é perpendicular a TV.
  • E) Errada. Também tem inclinação 3, e não −3.

Logo, a resposta é a alternativa A.

Fonte: INEP/MEC.

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