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Questão 151

ENEM 2025, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma.

As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações.

Imagem da questão 151 do ENEM 2025

Quantos vértices tem esse poliedro?

Ver gabarito e resolução

Em resumo: O poliedro tem 32 faces e 55 arestas; pela relação de Euler, V = 55 − 32 + 2 = 25 vértices.

Gabarito oficial: alternativa B.

Resolução

A questão pede o número de vértices da cúpula pentagonal giralongada.

  1. Faces, pela planificação: 1 decágono (vermelho), 1 pentágono (verde), 5 quadrados (amarelos) e 25 triângulos (azuis). São 1 + 1 + 5 + 25 = 32 faces.
  2. Arestas: cada aresta é lado de exatamente duas faces. Somando os lados de todas as faces e dividindo por 2: \dfrac{10 + 5 + 5 \cdot 4 + 25 \cdot 3}{2} = \dfrac{110}{2} = 55.
  3. Vértices, pela relação de Euler (V − A + F = 2): V = 55 − 32 + 2 = 25.

Também dá para contar direto: o decágono da base tem 10 vértices, o decágono do meio (entre a faixa de triângulos e a cúpula) tem mais 10 e o pentágono do topo tem 5. São 25.

Alternativas

  • A) Errada. 21 não satisfaz a relação de Euler com 32 faces e 55 arestas.
  • B) Correta. O poliedro tem 25 vértices.
  • C) Errada. 55 é o número de arestas.
  • D) Errada. 80 não corresponde a nenhuma contagem correta.
  • E) Errada. 110 é a soma dos lados de todas as faces, antes de dividir por 2.

Logo, a resposta é a alternativa B.

Fonte: INEP/MEC.

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