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Questão 162

ENEM 2021, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo ∆ e estrela ∗, definidas sobre o conjunto dos números reais por x \triangle y = x^2 + xy - y^2 e x \ast y = xy + x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (a \triangle b) \ast (b \triangle a) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Com b = 1, as soluções são 2, −1 e (−1 ± √5)/2; as duas maiores somam (3 + √5)/2.

Gabarito oficial: alternativa E.

Resolução

A questão pede a soma das duas maiores soluções de (a \triangle 1) \ast (1 \triangle a) = 0.

  1. u = a \triangle 1 = a^2 + a - 1 e v = 1 \triangle a = 1 + a - a^2.
  2. u \ast v = uv + u = u(v + 1) = 0. Então u = 0 ou v = -1.
  3. u = 0: a^2 + a - 1 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} (cerca de 0,618 e −1,618).
  4. v = -1: 1 + a - a^2 = -1 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2 ou a = -1.

As duas maiores são 2 e \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}: soma = \dfrac{4 - 1 + \sqrt{5}}{2} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}.

Alternativas

  • A) Errada. Não corresponde à soma.
  • B) Errada. Não corresponde à soma.
  • C) Errada. Não corresponde à soma.
  • D) Errada. É só uma das soluções.
  • E) Correta. É a soma das duas maiores soluções.

Logo, a resposta é a alternativa E.

Fonte: INEP/MEC.

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