Hora do Simulado

Questão 162

ENEM 2022, Matemática Favoritar

Em um jogo de bingo, as cartelas contêm 16 quadrículas dispostas em linhas e colunas. Cada quadrícula tem impresso um número, dentre os inteiros de 1 a 50, sem repetição de número. Na primeira rodada, um número é sorteado, aleatoriamente, dentre os 50 possíveis. Em todas as rodadas, o número sorteado é descartado e não participa dos sorteios das rodadas seguintes. Caso o jogador tenha em sua cartela o número sorteado, ele o assinala na cartela. Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal, conforme os tipos de situações ilustradas na Figura 1.

Figura 1: três cartelas 4 por 4 com os preenchimentos que vencem o jogo: uma linha inteira, uma coluna inteira e uma diagonal inteira

O jogo inicia e, nas quatro primeiras rodadas, foram sorteados os seguintes números: 03, 27, 07 e 48. Ao final da quarta rodada, somente Pedro possuía uma cartela que continha esses quatro números sorteados, sendo que todos os demais jogadores conseguiram assinalar, no máximo, um desses números em suas cartelas. Observe na Figura 2 o cartão de Pedro após as quatro primeiras rodadas.

Figura 2: cartela de Pedro com as linhas 03, 48, 12, 27; 49, 11, 22, 05; 29, 50, 19, 45; 33, 23, 38, 07, e os números 03, 48, 27 e 07 assinalados

A probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Pedro vence já com o 12; ou na rodada seguinte com o 12, ou completando a diagonal (11 e 19) ou a coluna (05 e 45).

Gabarito oficial: alternativa E.

Resolução

A questão pede a probabilidade de Pedro ganhar numa das duas próximas rodadas.

Na cartela, Pedro tem 03, 48 e 27 na primeira linha (falta o 12); 03 e 07 na diagonal 03-11-19-07 (faltam 11 e 19); 27 e 07 na coluna 27-05-45-07 (faltam 05 e 45). Restam 46 números.

  1. Ganhar na 5ª rodada: só com o 12: \dfrac{1}{46}.
  2. Ganhar na 6ª rodada (sem ter ganho na 5ª):
    • Se na 5ª saiu 11, 19, 05 ou 45 (4 casos), na 6ª ele ganha com o 12 ou com o número que completa aquela linha: 2 chances em 45.
    • Se saiu outro número que não o 12 (41 casos), na 6ª só o 12 serve: 1 chance em 45.
    • Total: \dfrac{4 \cdot 2 + 41 \cdot 1}{46 \cdot 45} = \dfrac{49}{46 \cdot 45}.

Probabilidade: \dfrac{1}{46} + \dfrac{49}{46 \times 45}.

Alternativas

  • A) Errada. Não considera corretamente os casos da 6ª rodada.
  • B) Errada. Não considera corretamente os casos da 6ª rodada.
  • C) Errada. Não considera corretamente os casos da 6ª rodada.
  • D) Errada. Não considera corretamente os casos da 6ª rodada.
  • E) Correta. É a soma das duas possibilidades.

Logo, a resposta é a alternativa E.

Fonte: INEP/MEC.

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