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Questão 174

ENEM 2022, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola y = -\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{7x}{3} + 12, em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.

Quadra de vôlei com a trajetória parabólica da bola do saque passando sobre a rede; o eixo x fica 1,5 m acima do piso e o eixo y passa pelo ponto mais alto da trajetória

A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:

  • ginásio I: 17 m;
  • ginásio II: 18 m;
  • ginásio III: 19 m;
  • ginásio IV: 21 m;
  • ginásio V: 40 m.

O saque desse atleta foi invalidado

Ver gabarito e resolução

Em resumo: O vértice da parábola está em y ≈ 20,17 m acima do eixo, ou seja, ≈ 21,67 m do piso: o saque bate nos tetos de até 21 m.

Gabarito oficial: alternativa D.

Resolução

A questão pede em quais ginásios o saque foi invalidado.

A altura máxima é o y do vértice. Com a = -\dfrac{1}{6}, b = -\dfrac{7}{3} e c = 12:

  1. x_v = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{7/3}{-1/3} = -7.
  2. y_v = -\dfrac{49}{6} + \dfrac{49}{3} + 12 = \dfrac{49}{6} + 12 \approx 20{,}17\ \text{m}.
  3. O eixo x está a 1,5 m do piso: altura máxima \approx 21{,}67\ \text{m}.

O saque bate nos tetos de 17, 18, 19 e 21 m, mas não no de 40 m.

Alternativas

  • A) Errada. O saque também passa de 18, 19 e 21 m.
  • B) Errada. O saque também passa de 19 e 21 m.
  • C) Errada. Esquece de somar 1,5 m (20,17 m não chega a 21 m).
  • D) Correta. O saque é invalidado nos ginásios I, II, III e IV.
  • E) Errada. O teto de 40 m é bem mais alto que a bola.

Logo, a resposta é a alternativa D.

Fonte: INEP/MEC.

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