Hora do Simulado

Questão 137

ENEM 2023, Matemática Dificuldade: Média Favoritar

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Mastro vertical com bandeira; do ponto P, a uma altura h do solo, partem três cabos até o chão, cada um formando um ângulo α com o plano do chão

Os cabos de aço formam um ângulo α com o plano do chão.

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

  • opção I: h = 11 m e α = 30°
  • opção II: h = 12 m e α = 45°
  • opção III: h = 18 m e α = 60°

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

Ver gabarito e resolução

Em resumo: O cabo é a hipotenusa: cabo = h ÷ sen α. A opção II (12 m, 45°) dá o menor cabo, 12√2 m.

Gabarito oficial: alternativa C.

Resolução

A questão pede o comprimento do cabo na opção que usa o menor cabo.

O mastro (altura h), o chão e o cabo formam um triângulo retângulo. O cabo é a hipotenusa e h é o cateto oposto ao ângulo α: \text{sen}\,\alpha = \dfrac{h}{L}, então L = \dfrac{h}{\text{sen}\,\alpha}.

  • Opção I: L = \dfrac{11}{1/2} = 22\ \text{m}.
  • Opção II: L = \dfrac{12}{\sqrt{2}/2} = \dfrac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97\ \text{m}.
  • Opção III: L = \dfrac{18}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78\ \text{m}.

O menor é 12\sqrt{2} m.

Alternativas

  • A) Errada. Usa a altura da opção I com o ângulo de 60°: \dfrac{11}{\text{sen}\,60^\circ} = \dfrac{22\sqrt{3}}{3}.
  • B) Errada. Usa a altura da opção I com o ângulo da opção II.
  • C) Correta. É o cabo da opção II, o menor dos três.
  • D) Errada. É o cabo da opção III, maior que o da II.
  • E) Errada. É o cabo da opção I, o maior.

Logo, a resposta é a alternativa C.

Fonte: INEP/MEC.

Outras questões de Matemática