Hora do Simulado

Questão 166

ENEM 2023, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.

Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Para o voucher sair no máximo 1% das vezes, a urna B deve ter 4 pretas em 80 bolas: faltam 64 brancas.

Gabarito oficial: alternativa C.

Resolução

A questão pede o número mínimo de bolinhas brancas a acrescentar na urna B.

  1. A probabilidade de ganhar é 0{,}2 \cdot P_B \le 0{,}01, então P_B \le 0{,}05.
  2. Hoje, B tem 4 pretas e probabilidade de 25%: são 16 bolinhas, 12 brancas.
  3. Com 4 pretas e P_B \le 0{,}05: \dfrac{4}{\text{total}} \le 0{,}05, logo o total deve ser pelo menos 80.
  4. A urna deve ter pelo menos 80 - 4 = 76 brancas. Como já tem 12, é preciso acrescentar 76 - 12 = 64.

Alternativas

  • A) Errada. Não leva à probabilidade exigida.
  • B) Errada. Com 60 a mais, haveria 76 bolinhas, e P_B \approx 5{,}3\%.
  • C) Correta. Com 64 a mais, a urna fica com 80 bolinhas e P_B = 5\%.
  • D) Errada. Funciona, mas não é o mínimo.
  • E) Errada. Funciona, mas não é o mínimo.

Logo, a resposta é a alternativa C.

Fonte: INEP/MEC.

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