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Questão 147

ENEM 2024, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.

O jardineiro escolherá a forma de

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Com o mesmo perímetro k, o hexágono regular tem a maior área: k²√3/24, contra k²/16 do quadrado e k²√3/36 do triângulo.

Gabarito oficial: alternativa A.

Resolução

A questão pede a forma de maior área com k metros de cerca e o valor dessa área.

  • Triângulo equilátero (lado k/3): \dfrac{(k/3)^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{k^2\sqrt{3}}{36} \approx 0{,}048\,k^2.
  • Quadrado (lado k/4): \left(\dfrac{k}{4}\right)^2 = \dfrac{k^2}{16} \approx 0{,}063\,k^2.
  • Hexágono regular (lado k/6), formado por 6 triângulos equiláteros: 6 \cdot \dfrac{(k/6)^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{k^2\sqrt{3}}{24} \approx 0{,}072\,k^2.

O hexágono tem a maior área. Em geral, com o mesmo perímetro, quanto mais lados tem o polígono regular, maior a área.

Alternativas

  • A) Correta. Hexágono, com área \frac{k^2\sqrt{3}}{24}.
  • B) Errada. \frac{3k^2\sqrt{3}}{2} é a área de um hexágono de lado k, não de perímetro k.
  • C) Errada. A área do quadrado está certa, mas é menor que a do hexágono.
  • D) Errada. A área do triângulo está certa, mas é a menor das três.
  • E) Errada. \frac{k^2\sqrt{3}}{4} é a área de um triângulo de lado k, não de perímetro k.

Logo, a resposta é a alternativa A.

Fonte: INEP/MEC.

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