Hora do Simulado

Questão 149

ENEM 2024, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.

Alfabeto do texto original, de A a Z, com setas para o alfabeto do texto codificado, deslocado três posições: A vira D, B vira E, e assim por diante, até X, Y e Z, que viram A, B e C

Disponível em: www.codifica.ibict.br. Acesso em: 15 out. 2019.

Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.

Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.

A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Há 25 deslocamentos possíveis: errar duas vezes e acertar na terceira tem probabilidade 24/25 × 23/24 × 1/23.

Gabarito oficial: alternativa E.

Resolução

A questão pede a probabilidade de descobrir o padrão da cifra só na terceira tentativa.

Numa Cifra de César, basta descobrir por qual letra o "A" foi trocado. Excluindo o próprio "A" (que não codificaria nada), há 25 possibilidades. Cada tentativa errada é eliminada nas seguintes.

  1. 1ª tentativa errada: \dfrac{24}{25} (24 erradas entre 25).
  2. 2ª tentativa errada, com 24 restantes: \dfrac{23}{24}.
  3. 3ª tentativa certa, com 23 restantes: \dfrac{1}{23}.

Os três fatos precisam acontecer, então as probabilidades se multiplicam: \dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{24} \times \dfrac{1}{23}.

Alternativas

  • A) Errada. Soma probabilidades de acerto, como se bastasse acertar em qualquer tentativa.
  • B) Errada. Soma em vez de multiplicar.
  • C) Errada. Multiplica três acertos, mas é preciso errar duas vezes antes.
  • D) Errada. Não elimina as tentativas erradas (mantém 25 no denominador).
  • E) Correta. Erro, erro e acerto, com eliminação das tentativas.

Logo, a resposta é a alternativa E.

Fonte: INEP/MEC.

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