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Questão 151

ENEM 2024, Matemática Dificuldade: Média Favoritar

Uma indústria faz uma parceria com uma distribuidora de sucos para lançar no mercado dois tipos de embalagens. Para a fabricação dessas embalagens, a indústria dispõe de folhas de alumínio retangulares, de dimensões 10 cm por 20 cm. Cada uma dessas folhas é utilizada para formar a superfície lateral da embalagem, em formato de cilindro circular reto, que posteriormente recebe fundo e tampa circulares. A figura ilustra, dependendo de qual das duas extensões será utilizada como altura, as duas opções para formar a possível embalagem.

Embalagem 1: folha de 10 cm por 20 cm enrolada com 20 cm de altura, formando um cilindro fino; embalagem 2: a mesma folha enrolada com 10 cm de altura, formando um cilindro largo

Dentre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Usando os 20 cm como contorno da base (r = 10/π) e 10 cm de altura, o volume é 1 000/π cm³, o maior.

Gabarito oficial: alternativa D.

Resolução

A questão pede o volume da embalagem de maior capacidade.

Ao enrolar a folha, um lado vira a altura e o outro vira o comprimento da circunferência da base: 2\pi r.

  1. Embalagem 1 (altura 20 cm, contorno 10 cm): r = \dfrac{10}{2\pi} = \dfrac{5}{\pi}. Volume: \pi \cdot \left(\dfrac{5}{\pi}\right)^2 \cdot 20 = \dfrac{500}{\pi} cm³.
  2. Embalagem 2 (altura 10 cm, contorno 20 cm): r = \dfrac{20}{2\pi} = \dfrac{10}{\pi}. Volume: \pi \cdot \left(\dfrac{10}{\pi}\right)^2 \cdot 10 = \dfrac{1\,000}{\pi} cm³.

A embalagem 2 tem o dobro do volume: \dfrac{1\,000}{\pi} cm³.

Alternativas

  • A) Errada. 4\,000\pi usa os lados da folha como raio.
  • B) Errada. 2\,000\pi também não usa o raio correto.
  • C) Errada. \frac{4\,000}{\pi} usa o diâmetro em vez do raio.
  • D) Correta. A embalagem 2 tem volume \frac{1\,000}{\pi} cm³.
  • E) Errada. \frac{500}{\pi} é o volume da embalagem 1, a menor.

Logo, a resposta é a alternativa D.

Fonte: INEP/MEC.

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