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Questão 155

ENEM 2024, Matemática Dificuldade: Média Favoritar

Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.

Semicírculo de raio R com centro no ponto S; em azul, o setor circular de ângulo α que o sensor cobre

Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.

Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:

  • tipo I: α = 15° e R = 20 m;
  • tipo II: α = 30° e R = 22 m;
  • tipo III: α = 40° e R = 12 m;
  • tipo IV: α = 60° e R = 16 m;
  • tipo V: α = 90° e R = 10 m.

Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m², com o menor preço possível.

Use 3 como valor aproximado para π.

O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Áreas: I = 50, II = 121, III = 48, IV = 128, V = 75 m². Dos que cobrem 70 m², o de menor área (mais barato) é o V.

Gabarito oficial: alternativa E.

Resolução

A questão pede o sensor mais barato que cubra pelo menos 70 m².

A área de um setor circular é \dfrac{\alpha}{360} \cdot \pi R^2 (com \pi = 3):

  • I: \frac{15}{360} \cdot 3 \cdot 400 = 50 m²;
  • II: \frac{30}{360} \cdot 3 \cdot 484 = 121 m²;
  • III: \frac{40}{360} \cdot 3 \cdot 144 = 48 m²;
  • IV: \frac{60}{360} \cdot 3 \cdot 256 = 128 m²;
  • V: \frac{90}{360} \cdot 3 \cdot 100 = 75 m².

Cobrem pelo menos 70 m² os sensores II, IV e V. Como o preço cresce com a área, o mais barato entre eles é o de menor área: o V, com 75 m².

Alternativas

  • A) Errada. O sensor I cobre só 50 m².
  • B) Errada. O II cobre 121 m², mas é mais caro que o V.
  • C) Errada. O III cobre só 48 m².
  • D) Errada. O IV cobre 128 m², o mais caro dos que atendem.
  • E) Correta. O V cobre 75 m², o mínimo acima de 70 m².

Logo, a resposta é a alternativa E.

Fonte: INEP/MEC.

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