Hora do Simulado

Questão 156

ENEM 2025, Matemática Dificuldade: Média Favoritar

O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:

1º – partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q;
2º – partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.

No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:

1º – partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S;
2º – partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T.

A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.

Imagem da questão 156 do ENEM 2025

O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.

Considere 0,64 como aproximação para cos 50°.

A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,

Ver gabarito e resolução

Em resumo: TR é igual a SQ; o triângulo PSQ tem dois lados de 4 h e ângulo de 130°: SQ ≈ 7,25 h, na direção 135.

Gabarito oficial: alternativa A.

Resolução

A questão pede a direção e o tempo para ir de T a R em linha reta.

  1. Ideia-chave: a rota planejada foi P → Q → R, e a executada, P → S → T. O último trecho das duas é igual (2 h na direção 90). Então o deslocamento de T até R é o mesmo que de S até Q. Basta achar o segmento SQ.
  2. Triângulo PSQ: PS e PQ medem 4 h de navegação cada (a velocidade é constante, então dá para medir distâncias em horas). O ângulo entre as direções 340 e 110 é 360 - 340 + 110 = 130^\circ.
  3. Lei dos cossenos: SQ^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 130^\circ. Como \cos 130^\circ = -\cos 50^\circ = -0{,}64: SQ^2 = 32 + 32 \cdot 0{,}64 = 52{,}48, e SQ \approx 7{,}24 h, cerca de 7 h 15 min.
  4. Direção: o triângulo é isósceles, então os ângulos da base medem \frac{180 - 130}{2} = 25^\circ. De S, a direção para P é 340 − 180 = 160; girando 25° em direção a Q: 160 − 25 = 135 (sudeste), como na figura.

Alternativas

  • A) Correta. Direção 135, por cerca de 7 h 15 min.
  • B) Errada. A direção 45 é nordeste; R fica a sudeste de T.
  • C) Errada. 12 h é mais que a soma dos trechos e não sai da lei dos cossenos.
  • D) Errada. 6 h seria somar os trechos de 4 h e 2 h, sem usar a geometria.
  • E) Errada. Direção e tempo errados.

Logo, a resposta é a alternativa A.

Fonte: INEP/MEC.

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