Questão 159
Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo
D = k + \operatorname{tg}[p(T + m)],
sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.
A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é
Atalhos de teclado
- A–E ou 1–5
- Marcar a alternativa
- Enter
- Responder / ir para a próxima
- ← →
- Questão anterior / próxima
- X
- Riscar a alternativa focada (a marcada não pode ser riscada)
- ?
- Mostrar / esconder esta ajuda
- Esc
- Fechar
Ver gabarito e resolução
Em resumo: As assíntotas distam 2π, então o período é 2π e p = ½; o centro (2,5; 30) dá k = 30 e m = −5/2.
Gabarito oficial: alternativa E.
Resolução
A questão pede a expressão de D = k + \operatorname{tg}[p(T + m)] a partir do gráfico.
- Período e p: as assíntotas verticais estão em T = \frac{5 - 2\pi}{2} e T = \frac{5 + 2\pi}{2}. A distância entre elas é 2\pi, que é o período da função. A tangente de p \cdot x tem período \frac{\pi}{p}; então \frac{\pi}{p} = 2\pi \Rightarrow p = \frac{1}{2}.
- Centro e m: a tangente vale 0 no meio, entre as duas assíntotas: T = \frac{5}{2} = 2{,}5. Para que o argumento seja zero em T = 2{,}5: T + m = 0 \Rightarrow m = -\frac{5}{2}.
- Deslocamento vertical k: no ponto central, o gráfico passa por D = 30. Como \operatorname{tg}(0) = 0, temos k = 30.
Resultado: D = 30 + \operatorname{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T - \frac{5}{2}\right)\right].
Alternativas
- A) Errada. Usa k = 2{,}5 e p = 30, trocando os papéis dos valores do gráfico.
- B) Errada. p = 30 e k = 4 não correspondem ao período nem ao centro.
- C) Errada. p = 2{,}5 e k = 4 também não correspondem ao gráfico.
- D) Errada. Tem k e p certos, mas o centro ficaria em T = 5, e não em 2,5.
- E) Correta. k = 30, p = \frac{1}{2} e m = -\frac{5}{2}.
Logo, a resposta é a alternativa E.
Fonte: INEP/MEC.
Outras questões de Matemática
- Questão 159 — ENEM 2009 Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?
- Questão 159 — ENEM 2010 Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m², então ela possui RIP igual a
- Questão 159 — ENEM 2011 Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações...
- Questão 159 — ENEM 2012 O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas informações do gráfico, que o nível de...