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Questão 177

ENEM 2025, Matemática Dificuldade: Média Favoritar

Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.

Imagem da questão 177 do ENEM 2025

O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.

O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.

Considere 3 como aproximação para π e desconsidere as espessuras das muretas.

O projeto a ser aprovado é

Ver gabarito e resolução

Em resumo: Projeto 1: semicírculos de raio 6 e 3 m somam 67,5 m²; Projeto 2: semicírculo de raio 9 m, 121,5 m².

Gabarito oficial: alternativa A.

Resolução

A questão pede qual projeto tem a menor área de seção transversal.

A seção de um túnel semicilíndrico é um semicírculo, de área \dfrac{\pi r^2}{2} (com \pi = 3).

  1. Projeto 1:
    • túnel de automóveis, diâmetro 12 m, raio 6 m: \dfrac{3 \cdot 36}{2} = 54 m²;
    • túnel de bicicletas, diâmetro 6 m, raio 3 m: \dfrac{3 \cdot 9}{2} = 13{,}5 m²;
    • total: 67,5 m².
  2. Projeto 2: diâmetro 3 + 6 + 6 + 3 = 18 m, raio 9 m: \dfrac{3 \cdot 81}{2} = 121{,}5 m².

O Projeto 1 retira menos material. Isso acontece porque a área cresce com o quadrado do raio: juntar tudo num só túnel aumenta muito a seção.

Alternativas

  • A) Correta. O Projeto 1 tem 67,5 m² de seção.
  • B) Errada. O Projeto 2 tem 121,5 m², mais que o Projeto 1.
  • C) Errada. 135 m² é o dobro do valor correto, como se fossem círculos inteiros.
  • D) Errada. 243 m² é a área do círculo inteiro de raio 9 m, e o Projeto 2 não é o menor.
  • E) Errada. As áreas são diferentes, embora a soma dos diâmetros seja a mesma (18 m).

Logo, a resposta é a alternativa A.

Fonte: INEP/MEC.

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