Hora do Simulado

Questão 176

ENEM 2025, Matemática Favoritar

Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:

$P = 4 \cdot \log[-K \cdot (t + 1) \cdot (t - 19)]

O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.

O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.

O maior valor a ser escolhido para K é

Ver gabarito e resolução

Em resumo: O maior valor de (t + 1)(19 − t) entre 0 e 10 h é 100, em t = 9; impondo P ≤ 10: 100K ≤ 10^2,5, então K ≤ 10^0,5.

Gabarito oficial: alternativa A.

Resolução

A questão pede o maior valor de K para que a pressão não passe de 10 atm durante 10 horas seguidas.

  1. Escrevendo −K(t + 1)(t − 19) = K(t + 1)(19 − t), a pressão é P = 4 \cdot \log[K(t + 1)(19 - t)].
  2. O logaritmo cresce com o seu argumento, então P é máxima quando (t + 1)(19 − t) é máximo. Essa expressão é uma parábola com raízes −1 e 19, voltada para baixo. O máximo fica no ponto médio das raízes, t = 9, que está dentro do intervalo de 0 a 10 h: (9 + 1)(19 − 9) = 100.
  3. Exigindo P \le 10 no pior momento: 4 \cdot \log(100K) \le 10 \Rightarrow \log(100K) \le 2{,}5 \Rightarrow 100K \le 10^{2{,}5}.
  4. Logo, K \le \dfrac{10^{2{,}5}}{10^2} = 10^{0{,}5}.

Alternativas

  • A) Correta. O maior K é 10^{0{,}5}.
  • B) Errada. 10^{8} faria a pressão passar muito de 10 atm.
  • C) Errada. Usa um valor de (t + 1)(19 − t) que não é o máximo do intervalo.
  • D) Errada. Usa t = 10 ((11)(9) = 99), mas o máximo da pressão ocorre em t = 9, onde o produto vale 100.
  • E) Errada. 25 \times 10^{-2} não resulta da condição P \le 10.

Logo, a resposta é a alternativa A.

Fonte: INEP/MEC.

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