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Questão 157

ENEM 2023, Matemática Dificuldade: Difícil Favoritar

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

  • algarismos de 0 a 9;
  • 26 letras minúsculas do alfabeto;
  • 26 letras maiúsculas do alfabeto;
  • 6 caracteres especiais !, @, #, $, ★, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

  • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
  • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
  • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere p_1, p_2 e p_3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

Ver gabarito e resolução

Em resumo: O tipo I tem 68 opções em cada posição e gera mais senhas; com mais senhas possíveis, menor a chance de acerto.

Gabarito oficial: alternativa A.

Resolução

A questão pede o tipo de senha com menor probabilidade de ser descoberto na primeira tentativa.

A probabilidade de acertar é 1 dividido pelo número de senhas possíveis. Há 10 + 26 + 26 + 6 = 68 caracteres e 52 letras.

  • Tipo I (4 caracteres distintos quaisquer): 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 = 19\,545\,240.
  • Tipo II (3 letras, 1 algarismo, 1 especial): 52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 10 \cdot 6 = 7\,956\,000.
  • Tipo III (2 letras, 2 algarismos, 2 especiais): 52 \cdot 51 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 5 = 7\,160\,400.

Como o tipo I tem mais senhas, depois o II e depois o III, as probabilidades ficam na ordem inversa: p_1 < p_2 < p_3.

Alternativas

  • A) Correta. O tipo I tem a menor probabilidade, com p_1 < p_2 < p_3.
  • B) Errada. O tipo I é o mais seguro, mas não por ter menos caracteres; é porque cada posição tem 68 opções.
  • C) Errada. O tipo II tem probabilidade maior que o I.
  • D) Errada. A ordem é a inversa.
  • E) Errada. Ter mais caracteres não basta: as restrições reduzem as opções do tipo III.

Logo, a resposta é a alternativa A.

Fonte: INEP/MEC.

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